函数

  1. 在x的取值范围内里任取一个x总有唯一的y和他对应，那么我们就说，y是关于x的一个函数y=f(x)，x是自变量，y是因变量，所有x的取值区间为定义域，y的取值区间为值域
  2. 反函数：如果任意的y总有x跟他一一对应，就说此函数具有反函数，记为$x=f^{-1}(y)$,习惯记为 y=g(x)
  3. 求反函数，求得x等于多少y然后，x,y互换位置即可
  4. 幂函数 $y = x^a$,a为常数，x为自变量,a<0时为开方，x^1/2表示x开二次方根
  5. 指数函数，$y = a^x$(a>0且a=/1),自变量为指数,恒经过（0，1),在a>1时单调递增，在 $(0<a<1)$ 时，单调递减
  6. 对数函数，y= $log_a^x$,表示以a为低x的对数，（a>0且=/1，x>0），如果a = e即$log_e^x$，可记为$ln^x$,自然对数函数
  7. ln1 = 0

函数四大性质

  1. 奇偶性:

    • 定义域关于原点对称
    • 如果 f(-x) = f(x),说明是偶函数,一般带平方,绝对值的,是偶函数
    • 如果 f(-x) = -f(x),说明是奇函数(f(x)+f(-x) = 0
      • 比如ln((1-x)/(1+x)) 是一个奇函数

  2. 周期性

    • f(x+T) = f(x),(T>0) ,则函数为周期函数,T为函数的周期,通常我们取最小正周期
    • y = sin(x)的周期为 2Pi

  3. 有界性

    • 函数上下均有界为有界函数
    • sin(x),cos(x) 均为有界函数

  4. 单调性

    • 如果函数f(x),随着x增大而增大,说明f(x)单调递增
    • 如果f(x),随x增大反而减少,说明单调减少

极限

  1. 极限,$\lim_{x \to x^0}f(x) = A$,自变量x无限接近于x^0时(但不等于x^0),因变量无限接近于一个唯一常数

  2. 极限特性:

    • 极限有唯一性
    • 左右极限,从左边趋于$x^0$时标记为 $\lim_{x^-}$,从右边趋于时标记为 $\lim_{x^+}$
    • 左右极限都存在且相等时才能说极限存在,分段函数时一定要确认左右是相等
    • 极限存在与函数是否在该点有定义无关

  3. 极限的四则运算

    • $\lim_{x \to 2}(3x^2+1)$可以拆为 $\lim_{x \to 2}(3x^2) + \lim_{x \to 2}(1)$
    • 加减乘除都可以,除的时候要注意分母不为0

  4. 无穷小

    • 极限为0的量为无穷小量
    • 设 $\lim\alpha$ 和 $\lim\beta$都等于0
    • 等价无穷小 $lim(\frac \alpha \beta) = 1$
    • 高阶无穷小 $lim(\frac \alpha \beta) = 0$
    • 低阶无穷小 $lim(\frac \alpha \beta) = \infty$
    • 同阶无穷小 以上都不适用表示同阶

  5. 洛必达,$\lim_{x \to x^0} (\frac x y) =\lim_{x \to x^0} (\frac {x \prime} {y \prime})$

    • 必须是 0/0或是 无穷/无穷 的时候才可以用

  6. 求级限的方法

    1. 无穷小等价替换(需要单独复习 link:https://zhuanlan.zhihu.com/p/29622571)
    2. 无穷大比无穷大时
      1. 洛必达
      2. 抓大头:取变化速度最快的量的系数比(次数最高变化越快)
      3. 抓大头:必须用相同次数的x相比

  7. 分段函数求极限

    1. 左右极限都存在且相等,才证明极限存在
    2. 分段函数,分段点求极限时,需要分开求
    3. $\lim_{x \to \infty} e^x$,需要左右分开,趋于负无穷时极限为0,正无穷时极限为正无穷
    4. $\lim_{x \to \infty} e^{1/x}$,需要左右分开,(**结果需要自行验证一下**)

  8. 连续

    1. 连续:如果y=f(x),有一点$x_0$,在此点的极限等于函数在此点的值,就说明是连续的
    2. 分段函数间断点的继续性,需要求左右极限是否相等

  9. 间断点在

    1. 间段点分为两类:
      1. 第一类间断点(极限存在间断点)
        1. 跳跃间断点,左右极限存在并相等
        2. 可去间断点,左右极限存在,但不相等
      2. 第二类间断点:无穷间断点,左右极限有一个是无穷大就说明是无穷间断点
    2. 如何找间断点：
      1. 在此点没有意义，比如$\frac{1}{x}$,在x = 0处
      2. $e^x$,$e^{\frac 1x}$ 趋于无穷，或０，都是间断点，因为他们左右极限不相等

  10. 级数的敛散性

    1. 数列：按照一定次序排列的一列数
    2. 级数: 将数列的无穷多项加起来,如$\sum_1^{\infty}U_n$
    3. Un称为极数的一般项或通项
    4. 级数无穷项相加的结果，如果是一个常数表示收敛，反之如果加在一起是无穷大表示发散
    5. 级数收敛的定义：如果极数前n项和极限存在，表示极数收敛
    6. 等比数列，即从第二项开始，任意一项除前面一项，等于一个明确的常数，表示这个数列是一个等级数列，这个常数为公比，通常记做q
    7. 等比数列前n项求和公式:　$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$,a1代表起始项
    8. 如果q公比大于等于１，级数是发散的，如果小于１，则收敛
    9. $\sum\frac{1}{n}$称为调和级数，是发散的
    10. 极数收敛的必要条件是第n项的极限为0,(即如果函数收敛，第n项极限为0如果第n项极限为0，不一定函数收敛，比如1/n)
    11. 必要条件和充要条件的区别是，充要条件是可以互推的，必要条件，只能从A推出B，不能推

导数

  1. 导数概念：(3ELl1rZJEJJ)
    1. 如果　$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$　$\exist$ ,则函数f(x)在这点可导
    2. 同 $\lim_{ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$　$\exist$
    3. 这个点的导数，为函数在这个点切线的斜率
    4. 可导必连续，连续未必可导
  2. x求导为1,常数求导为0
  3. $e^x$ 求导为本身
  4. lnx 求导为 1/x
  5. 两个函数相乘再求导${[uv]}\prime$,等于 $u\prime v + v\prime u$
  6. 隐函数求导:
    1. 由方程确定的函数 y=y(x)称为隐函数，把从隐函数中解出的y=f(x)称为显函数，过程称为隐函数的显化
    2. 比如方称　x + y + 1 = 0,是隐函数，解出来的显函数为　y=-1-x
    3. 　隐函数求导时，把y看做中间变量，

微分

  1. 设y=f(x)在某区间内有定义，及$x_0$及$x_0 + \Delta x$在这个区间如果 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)= A* \Delta x + o(\Delta x)$成立，则称函数y=f(x)在x0处可微．
  2. $A * \Delta x$为函数在　y=f(x)在点 x0处的微分，记做$dy|_{x=x_0 }$
  3. 微分即函数增量的线性主部

积分/微分方程

  1. 原函数:若区间I内有两个函数，F(x)和f(x)满足 $F\prime(x) = f(x)$,由称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数
  2. 求曲边型的面积
  3. 求变速运动的距离
  4. 若f(x)在闭区间[a,b]内连续,则f(x)在[a,b]上可积

积分

不定积分

定积分

线代

行列式

数列

解方程